Что такое вычислительная математика
Опубликовано: 02.10.2018
Исходный вариант статьи (И. Б. Петров, Что такое вычислительная математика?) опубликован в журнале «Потенциал» .В статье рассказывается о том, что это за наука — вычислительная математика, с помощью которой решаются задачи физики, которая проникла в химию, биологию, экономику, медицину, социологию и другие науки. Оказывается, что эта наука использует как математику , так и информатику , а иногда и знания рассматриваемой предметной области. Подходы и методы вычислительной математики своеобразны и красивы, а сама эта наука давно уже стала самостоятельной дисциплиной, изучаемой во всех университетах мира.
На первый взгляд кажется, что вычислительная математика — это та же математика, только с вычислениями конкретных величин в формулах. Иногда приходится слышать иную позицию: «Вычислительная математика? Это, кажется, что-то от информатики?» Однако и первая, и вторая точка зрения верны лишь отчасти. Да, у вычислительной математики много общего с математическими дисциплинами; порой говорят о том, что это одна из математических дисциплин.
Вычислительная математика — это наука о методах решения вычислительных задач на компьютере. Она появилась от необходимости решать практические задачи, такие, как управление сложными технологическими процессами, управление полётом ракет , моделирование физических процессов (процесса ядерного распада , химических реакций , роста кристаллов и др.), а не только создание всё более реалистичных и ярких компьютерных игрушек, как ныне думают многие школьники.
Задачами вычислительной математики занимались такие выдающиеся учёные, как Эйлер , Лагранж , Чебышёв , Якоби , Лежандр , фон Нейман и многие другие. Они, часто занимаясь сложными вычислениями вручную на бумаге, невольно заложили основы науки об эффективных безошибочных вычислениях на компьютерах.Всем известно, что компьютеры имеют дело с числами с ограниченным количеством знаков после запятой [1] . Казалось бы, какая мелочь! Однако именно эти «мелочи» могут сильно исказить результаты численных расчётов. Появился важнейший раздел вычислительной математики — теория устойчивости вычислительных методов , то есть таких методов, которые позволяют на компьютере с «неточной» арифметикой получать точные (правдивые) результаты.
Как вычислительная математика решает прикладные задачи [ править ]
Во многих прикладных задачах искомым результатом является не одно число, а целая функция на отрезке. А как описать произвольную функцию на компьютере? Самый простой способ — это хранить значения функции в нескольких точках и «в уме» соединять их гладкой кривой. Таким образом, отрезок может рассматриваться как система нескольких выбранных точек
{
x
k
}
k
=
0
K
{\displaystyle \left\{{x_{k}}\right\}_{k=0}^{K}\,\!}
Как узнать, насколько адекватные результаты даёт компьютерная модель, которую вы построили, или, как принято говорить у вычислительных математиков, имеется ли сходимость решения модели к решению исходной «непрерывной» задачи? Кроме ряда сложных и красивых теорем, есть несколько простых хитростей, которые позволяют определить адекватность вашей модели:
Точность вычислений . В машинных вычислениях всегда присутствует машинная погрешность, о чём уже упоминалось. И прежде чем верить результатам, полученным на компьютере, попробуйте увеличить точность всех расчетов на пару разрядов. Если это изменит результат в предыдущих знаках, значит, вычисления проводились с недостаточной точностью и нужно использовать более точные типы для представления чисел (например, в языке Си float заменить на double, а в языке Паскаль тип real заменить на extended). Обусловленность . В вычислительной практике большое значение имеет чувствительность решения к малым изменениям входных данных. Задача называется плохо обусловленной, если малые изменения входных данных приводят к заметным изменениям решения. Измерить эту обусловленность на практике очень просто. Нужно просто попробовать чуть-чуть поменять входные данные и посмотреть, как меняется результат. Собственно, нужно выяснить, с какой погрешностью заданы входные данные, и экспериментально проверить в каких пределах меняется результат при варьировании входных данных в пределах их погрешности. Зависимость от алгоритма и модели . Есть ещё один источник неадекватности численных результатов, полученных на компьютере. Это неточность выбранной модели и алгоритма вычисления. Здесь всё несколько сложнее, нежели в предыдущих пунктах. Но для богатых заказчиков можно предложить надёжное решение — следует дать одну и ту же задачу нескольким группам прикладных математиков. Они, скорее всего, построят разные модели и будут пользоваться разными алгоритмами. Если все выдадут один и тот же результат, значит задача хорошая — она устойчива к выбору модели и алгоритма, и не так важно каким способом её решать. Конечно, бывают и такие случаи, когда все делают одну и ту же ошибку. У начинающих вычислительных математиков есть несколько таких излюбленных ошибок.Разумеется, если есть возможность сравнить результаты расчета с экспериментальными, то такие сравнения являются поводом для подтверждения верности расчетов. Что же касается исследования численных методов на аппроксимацию — то эта теория достаточно хорошо разработана, однако без вычислительных ошибок численных решений не бывает. Вопрос заключается в том, значительны ли они или незначительны, что, впрочем, также можно оценить.
Приведём некоторые примеры, демонстрирующие что «шутки с погрешностью плохи».
Пример 1: корни многочлена [ править ]
Есть множество программ, позволяющие численно вычислять корни многочленов. Давайте рассмотрим уравнение
x
4
−
4
x
3
+
8
x
2
−
16
x
+
15.
9...9
⏟
8
=
(
x
−
2
)
4
−
10
−
8
=
0
;
{\displaystyle x^{4}-4x^{3}+8x^{2}-16x+15.\underbrace {9...9} _{8}=(x-2)^{4}-10^{-8}=0;\,\!}
Это уравнение просто решить аналитически:
(
x
−
2
)
2
=
10
−
4
{\displaystyle (x-2)^{2}=10^{-4}\,\!}
Предположим, что мы проводим вычисления на компьютере, имеющем точность
δ
M
>
10
−
8
{\displaystyle \delta _{M}>10^{-8}\,\!}
коэффициент при
x
19
{\displaystyle x^{19}\,\!}
Пример 2: cистема уравнений [ править ]
Другой пример плохо обусловленной задачи — это система двух линейных уравнений:
{
u
+
10
v
=
11
,
100
u
+
1001
v
=
1101.
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}u+10v=11,\\100u+1001v=1101.\end{matrix}}\right.\,\!}
«Возмутим» правую часть первого уравнения на 0,01 (вместо 11 напишем 11,01) и получим новую, «возмущенную» систему, решением которой является пара чисел {11,01; 0,00}, не имеющая ничего общего с решением невозмущенной системы. Здесь изменение значения одного параметра на
0
,
1
%
{\displaystyle 0,1\%\,\!}
Пример 3: вычисление sin x [ править ]
В математическом анализе показывается, что функция
sin
x
{\displaystyle \sin x\,\!}
Теперь положим, что
x
=
25
,
66
{\displaystyle x{\rm {=25}}{\rm {,66}}\,\!}
Впрочем, в данном случае выход из положения достаточно прост — необходимо использовать формулы приведения:
sin
1470
∘
=
sin
30
∘
{\displaystyle \sin 1470^{\circ }=\sin 30^{\circ }\,\!}
Пример 4: корень из двойки [ править ]
Мы говорили о том, что на результат вычисления может оказать влияние выбор алгоритма решения задачи. Действительно, пусть нам нужно вычислить значение выражения
A
=
(
2
−
1
2
+
1
)
3
.
{\displaystyle A=\left({{{\sqrt {2}}-1} \over {{\sqrt {2}}+1}}\right)^{3}.\,\!}
Проведём вычисления A по трём формулам для двух приближенных значений
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}\,\!}
Видно, что первый «алгоритм»
A
=
(
2
−
1
)
6
{\displaystyle A=\left({{\sqrt {2}}-1}\right)^{6}\,\!}
Задачи для самостоятельного решения [ править ]
Читателю предлагается добраться до компьютера и компилятора какого-нибудь языка программирования (Си или Pascal) и провести несколько незатейливых численных экспериментов.
Задача 1 (частичная сумма гармонического ряда). [ править ]
Напишите программу, которая суммирует первые миллион слагаемых гармонического ряда сначала с первого по последний элемент, а потом наоборот — с последнего по первый:
A
=
1
1
+
1
2
+
1
3
+
…
+
1
10
6
=
1
10
6
+
…
1
3
+
1
2
+
1
1
{\displaystyle A={1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+\ldots +{1 \over {10^{6}}}={1 \over {10^{6}}}+\ldots {1 \over 3}+{1 \over 2}+{1 \over 1}\,\!}
Задача 2 («страшный» предел). [ править ]
Найдите с помощью компьютера значение выражения
sin
(
tan
(
x
)
)
−
tan
(
sin
(
x
)
)
arcsin
(
arctan
(
x
)
)
−
arctan
(
arcsin
(
x
)
)
{\displaystyle {\frac {\sin(\tan(x))-\tan(\sin(x))}{\arcsin(\arctan(x))-\arctan(\arcsin(x))}}\,\!}
при x, равном 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/10, 1/100, … (x измеряется в радианах). Как вы думаете, к чему это выражение на самом деле стремится по мере того, как x стремится к 0? дайте решение пожалуйста.
Задача 3 («башня» из степеней). [ править ]
Рассмотрим функцию
f
(
x
)
=
x
x
x
⋅
⋅
⋅
{\displaystyle f(x)=x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}\,\!}
Уточним это понятие: какое бы маленькое положительное число
ε
{\displaystyle \varepsilon \,\!}
Последний вопрос нашей задачи можно переформулировать так: при каких значениях
x
{\displaystyle x}
